Кружен отсечок

Кружен отсечок или кружен сегмент (симбол: ⌓ ) е дел од круг што е „отсечен“ од остатокот на кругот со секанта или тетива.

Поформално, кружен отсечок е рамнинска област која е ограничена со кружен лак (според конвенцијата помал од $\pi$ радијани) и со тетива која ги поврзува крајните точки на лакот.

Формули

Нека $R$ е полупречникот кружницата чиј дел е лакот на сегментот, $\theta$ e централниот агол што oдговара на лакот изразен во радијани, $c$ е должината на тетивата, $s$ е должината на лакот, $h$ е сагитата (висината) на отсечокот, $d$ е апотемата на отсечокот и $a$ е плоштината на отсечокот.

Вообичаено, во задачи се даваат должината на тетивата и висината на сегментот, а понекогаш и должината на лакот како дел од периметарот, а се бара да се пресметаат површината или должината на лакот. Тие не можат да се пресметаат едноставно од должината и висината на тетивата, така што најчесто прво се пресметуваат две меѓувеличини - полупречникот и централниот агол.

Полупречник и централен агол

Полупречникот (радиусот) на кружниот отсечок е:

R={\tfrac {h}{2}}+{\tfrac {c^{2}}{8h}}

^[1]

Централниот агол кој одговара на кружниот отсечок е:

\theta =2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}

Должина на тетивата и висина на отсечокот

Должината на тетивата и висината на отсечокот може да се изразат и да се пресметаат преку полупречникот и централниот агол.

Должината на тетивата е еднаква на:

c=2R\sin {\tfrac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}

c=2{\sqrt {R^{2}-(R-h)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}

Висината на отсечокот (сагитата) е еднаква на:

h=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R(1-\cos {\frac {\theta }{2}})=R\left(1-{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\right)={\frac {c}{2}}\,{\rm {{tg}{\frac {\theta }{4}}}}

Апотемата е еднаква на:

$d=R-h={\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R\cos {\tfrac {\theta }{2}}$

Должина на лакот и плоштина на отсечокот

Должината на лакот кој одговара на централен агол ${\theta }$ , изразен во радијани, е еднаква на:

s={\theta }R

Плоштината ${a}$ на кружниот отсечок е еднаква на разликата на плоштината на кружниот исечок и плоштината на триаголниот дел:

a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)

Плоштината ${a}$ на кружниот отсечок е зразeна преку $R$ и $h$

a=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}\,.

За жал, $a$ е трансцендентална функција од $c$ и $h$ па не може да се изрази преку алгебарски израз во однос на овие величини.

Сепак, кога централниот агол сe приближува кон нулата (или ако радиусот се зголемува и се стреми кон бескрајност), плоштината на отсечокот брзо и асимптотски се приближува кон ${\dfrac {2}{3}}c\cdot h\,.$ Значи, ако $\theta \ll 1$ , тогаш $a={\frac {2}{3}}c\cdot h$ е задоволително добра апроксимација.

Ако централниот агол се приближува кон $\pi ,$ плоштината на кружниот отсечок се приближува кон плоштината на полукругот ${\frac {\pi R^{2}}{2}},$ па добра апроксимација е следнава формула:

a\approx {\frac {\pi R^{2}}{2}}-(R+{\tfrac {c}{2}})(R-h)

за

h>0{,}75R\,.

На пример, плоштината на една четвртина од кругот, т.е. кога $\theta \approx 2{,}31$ радијани (132,3°) што одговара на висина од ~ 59,6% од радиусот и должина на тетивата од ~ 183% од полупречникот.

Итн.

Периметарот $p$ на кружниот отсечок е должината на лакот плус должината на тетивата,

p=c+s=c+\theta R

Како дел од целата плоштина на кругот, $A=\pi R^{2}$ , имаме

{\frac {a}{A}}={\frac {\theta -\sin \theta }{2\pi }}

Примени

Формулата за плоштина може да се користи при пресметување на зафатнина на делумно наполнет цилиндричен резервоар кој е хоризонтално поставен.

Во дизајнот на прозорците или вратите со заоблени горни делови, $c$ и $h$ може да бидат единствените познати вредности и може да се користат за пресметување на $R\,.$

Од даден кружен сегмент преку мерење на должината на неговиот лак или должината на неговата тетива може да се реконструираат димензиите на целиот круг.

За да се проверат позициите на дупки на кружна шема; ова е посебно корисно за проверка на квалитетот на машински обработени производи.

За пресметување на плоштината или определување на центарот на рамнински облик кој содржи кружни отсечоци.

Поврзано

Наводи

↑ Основната врска помеѓу $R$ , $c$ и $h$ што може директно да се изведе од Питагоровата теорема на правоаголниот триаголник со страни $R$ , $c/2$ и $R-h$ е: $R^{2}=({\tfrac {c}{2}})^{2}+(R-h)^{2}\,.$ Оваа равенка може да се реши по $R$ , $c$ или $h$ според барањето на задачата.

Надворешни врски

Definition of a circular segment со интерактивна анимација.
Formulae for area of a circular segment со интерактивна анимација.

[1] Основната врска помеѓу $R$ , $c$ и $h$ што може директно да се изведе од Питагоровата теорема на правоаголниот триаголник со страни $R$ , $c/2$ и $R-h$ е: $R^{2}=({\tfrac {c}{2}})^{2}+(R-h)^{2}\,.$ Оваа равенка може да се реши по $R$ , $c$ или $h$ според барањето на задачата.

[1]